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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 !?YaKE1 +  
MupS2 U  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. t|H_> Y:O  
hR7)A1(MC  
　　1、三角函数本质： Ft>X3  
lfv&/h_?  
　　三角函数的本质来源于定义 3]ysq;ro  
i)#jVpy  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 x2M-\^O  
.~[/^x_G!  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 4Xf_d{Y/  
K :#xo`R4  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Q}s*RS  
ggwBM5"0F  
　　推导： KfZZuA(  
z|l'fV+Z  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 E(mAUopu.E  
V tY\+ \M  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) C0r) a  
P32_%W@  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) {qj]T!F\  
SHI!,x8e  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 CIz3H g5  
{g:6 yLb  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） O><2v>L  
H;&hfpyE9$  
　　[1] ~Y{u%\r@ ?  
/{o1hd)+  
　　两角和公式 8:p-`AC:P  
bAk[=#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB S[l$W|-  
Pqhz`#D  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  qWc ~!  
h,y0,em4  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB !JSLJ  
wsN?(  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 7SO1+$0H  
 + &mP2  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) _ G:EP^Rt  
Q^@~t'A&  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) \{5HA_q  
^#RkeDEj  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ~oUplJ(Ex  
}3|p(hr&  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ;) T43A14  
:r*K!08y  
倍角公式 +O7a9#>m4  
i8@itT9h  
　　Sin2A=2SinA•CosA A|Dllt(;  
:5+PNO  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 #G.&WB&6_  
(HU rZ(  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 3UV!~(bX  
tJ'w9`a  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） }Xy!%|m  
e kB4 xc(  
三倍角公式 #T8 6%  
.my(>e[+z  
　　 7#ury&F  
C dK|-g  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) +LkYAL!ld  
u?g2 2P< O  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Oh0{ytPs  
6Xw _1Hw  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) /hS>GTxh  
8H=V'}ME  
三倍角公式推导 UI>),w  
(pHzBI{.  
　　sin3a lr5 d<HG  
"w]YpcnmR  
　　=sin(2a+a) @XaRgsP  
D]c^2oc1K  
　　=sin2acosa+cos2asina I~?Aajm1  
GWGeVXW  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ."{pNn  
q@__49|Pt  
　　=3sina-4sin³a ZS]f7l  
BY #H:F,x  
　　cos3a #?)c+%  
^<~v|zg  
　　=cos(2a+a) /T_ '#K7k  
4 V- ]v  
　　=cos2acosa-sin2asina L3wexR-3D  
ITZdV   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa } o3n A]Ih  
Z$qKq{rt  
　　=4cos³a-3cosa T1T Ir i(  
fx!DI!)9Le  
　　sin3a=3sina-4sin³a KI7f8:>P\  
;8V'z  
　　=4sina(3/4-sin²a) ljD`D'E$ii  
o8e%h0,  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] I= ^.&at9  
%hB3 r  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) PG!Wd@ZC(  
_iBM3^  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) qsr(Q@  
YD}z.b.a  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] h2&9)B}8  
s 3` _  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 58Y%g)  
3|8t)e"cC  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 1te"n +,  
8 #0V "  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Tb!W}h  
bRox :W  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] z@keY%YX4[  
1=MkK<SVv  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ii]`]g#jY  
-k= bG!  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) $D6\ Q  
xMnBnwzD  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} A_Z*y|~_  
%=j,4c  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) kvhTg+Wh`  
tfS/6W!v  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] g5G+L #  
xYTefl  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] p?9Zdj GTF  
'=^AABb(e  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) @?> B@p  
oB?x'{gF  
　　上述两式相比可得 iP=t-u=?04  
(M|jt  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) +9pbbO= P  
|*<t/?D  
半角公式 "vr j-  
o*!z`!E:  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); AI-Ldi#Nh  
GxFJIo%)  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. iw ZUCQJ?  
~7%XO1Mx  
和差化积 _w_QgM#d  
-5\/Hl9Hc  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] f$9xHo\.G  
\2>|gqL  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] l9l.W_h  
+Y c|iQ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] GK1G@LL  
g/<w6R_;  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :k 9w}  
LWAeg1(H  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1=D.r'aS  
vq]ilJ2  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) |-@vmQU"g  
%Q>cbH~r  
积化和差 $MLDSf+y  
pC3tdVtQ  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] R4 r :t:g  
aWS:TG  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ;Xn8"aL@  
a.N&r2Y_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] J:Zi$7oa:  
Skdp1QJ  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] PuS``_2ON  
5n1XLxu(+#  
诱导公式 2L!=7a!p  
^\y@'sV  
　　sin(-α) = -sinα vK = D  
OT$mQ<weTL  
　　cos(-α) = cosα ..=iHZjdV;  
>9SN/Lyc  
　　sin(π/2-α) = cosα Rm,,Y~;  
yN;Gl  
　　cos(π/2-α) = sinα l8/Oq  
Iy2r9 YU  
　　sin(π/2+α) = cosα s_3 =Bcq  
OMM q|j ?(  
　　cos(π/2+α) = -sinα ")1T8Z`jF  
<M/WKZ}H  
　　sin(π-α) = sinα cb\kiku  
Zk=u v)0r  
　　cos(π-α) = -cosα JZG'e]  
u1t!   
　　sin(π+α) = -sinα 6Kx/ Kr]i  
# W2e/i=?  
　　cos(π+α) = -cosα pfq?R$g0m  
Zo,'-*RO  
　　tanA= sinA/cosA #d*?Nqj1K  
3b~hJ<Ut  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα /Bz9]zEs  
K:pOh4^w/4  
　　tan（π/2－α）＝cotα 26,$]I>[  
`lp-<:M  
　　tan（π－α）＝－tanα Fp+y:wxP&  
a1z=mY`K  
　　tan（π＋α）＝tanα Z>+N Dn`qx  
*7~T.EQ06k  
万能公式 ft/k&zK  
FTft be9#  
　　 o G"gM7Gi>  
HwYw ][  
其它公式 ?_. Y9  
.E3p yA5n  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Kq":9z C  
&+g(?  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 c<C ?7`OB3  
|{u d-_g  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 gP"ns  
$}3*b 2aT  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  \wED  
*UTv?;-r  
　　对于任意非直角三角形,总有 w_pkl!  
~^Dk:55 s  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9faAtc  
)PGoiR  
　　证: A^R ,yvN   
#]I.T %'  
　　A+B=π-C tD5P/,*U  
n/&BCIa~@n  
　　tan(A+B)=tan(π-C) K{AH^+5I  
=_\{WKD  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ,kJhEmd  
Dqxm\;  
　　整理可得 vKP):XA  
?XQ0( urP  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~^/MV>Id5  
]v,9\ebHm  
　　得证 '~<e}|y  
R1"W0+l2  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 MS h}Sn  
j?/[%,^q  
其他非重点三角函数 8qr-$yw [  
e|n>\  
　　csc(a) = 1/sin(a) X7^Sk]  
u|`.=7t[1-  
　　sec(a) = 1/cos(a) I0GFe+_#  
z10(   
　　 ~Fr$S]K+a  
RS eu>O  
双曲函数 $=}R=ZkS  
K. `1b%vr  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 u6Omr$i 5  
c\8$}qd'  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 5cY*VN&ay  
d$fiDAU  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) b0|u0+  
tK\y!"5*i  
　　公式一： Y>r+IOj(t  
h]Wfe&h:9  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Y?}K xM  
>@fan_{T'  
　　sin（2kπ＋α）= sinα k TflrDaA  
a0q8_FXG  
　　cos（2kπ＋α）= cosα e<)&|!L  
>}aB7hm7  
　　tan（kπ＋α）= tanα !_JH "  
j%Dhy6S{2  
　　cot（kπ＋α）= cotα rTmJELg8c  
EoL89<Qd  
　　公式二： I-# 9M8  
-:G{Ji-T4  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： H5XTFD=s  
GUR}K\~C  
　　sin（π＋α）= -sinα S4H-K4 [M  
M6YXK#r~  
　　cos（π＋α）= -cosα R=lXpLyN  
N<<`3S<^  
　　tan（π＋α）= tanα w%KPZx/  
=U06If;}|  
　　cot（π＋α）= cotα :vny4.w  
_fC+g)rX9  
　　公式三： :y^%11N3  
VHl}22!L  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： F|mL/$:~T  
or U= wL  
　　sin（-α）= -sinα [,JwXT<0  
 BY  ||  
　　cos（-α）= cosα >$%v76|}g  
8 bX32{K  
　　tan（-α）= -tanα <IWnLk(4  
g|qGS   
　　cot（-α）= -cotα 'oxP5\rI+\  
M#"?sfaY  
　　公式四： C5T ^JV  
$dzbE']i n  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： N| mME B  
%MHerO"  
　　sin（π-α）= sinα T5r8SN} Q  
fL\D 5Y  
　　cos（π-α）= -cosα :Mv ]`|~mc  
X$Trj/4  
　　tan（π-α）= -tanα bW.nMp  
>QKlS16BB  
　　cot（π-α）= -cotα " l@834r  
K`qn)ZQ"  
　　公式五： 1GY'.U1  
ED $3 O   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Qo*n|R  
v~dHu[D~M  
　　sin（2π-α）= -sinα ?>Tu^L$L  
-tl&XPv4  
　　cos（2π-α）= cosα -l -Xw,fR  
 C*^I   
　　tan（2π-α）= -tanα D/nX|*\#!  
W~<kd,}s  
　　cot（2π-α）= -cotα 0rH&t6\E  
XZ-,,[C<U  
　　公式六： " (kOQ  
bB3T10[  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： hDE Jk{v  
S=u bjaSq  
　　sin（π/2+α）= cosα xwh{NVO  
wJ!u!"7L+  
　　cos（π/2+α）= -sinα nXj8x6}:  
:l?te?k  
　　tan（π/2+α）= -cotα |?+C vO_  
#NETKT  
　　cot（π/2+α）= -tanα %1Iu&zj  
YRwo0ZFVE  
　　sin（π/2-α）= cosα ykN#s2_L  
iN AfLVi5  
　　cos（π/2-α）= sinα pv=x13:  
wTh`!)'D  
　　tan（π/2-α）= cotα +u$Ao0ofj  
RoUOYLY}_3  
　　cot（π/2-α）= tanα CunZq7 -#  
Dq]1!E[-m^  
　　sin（3π/2+α）= -cosα =pUnrGlX`  
ylrU%x(}u  
　　cos（3π/2+α）= sinα v,kB0zY|  
M7*vNT_X  
　　tan（3π/2+α）= -cotα dM~1 o}  
(cX/{QO  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 'w3 DvN  
Oe";@  
　　sin（3π/2-α）= -cosα FJQiA:~ 7  
9^<[6HMNR  
　　cos（3π/2-α）= -sinα gz B:b<@  
G9B:aJ|{RD  
　　tan（3π/2-α）= cotα p:D-0uN 5  
oeibVxyyx  
　　cot（3π/2-α）= tanα h b(rN tt  
AaM2Egp?*  
　　(以上k∈Z) V!J]m%r  
+(|ISwO  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 YO |?9D  
{g5[H1 *Ng  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = fIlU{dd5E*  
Qs.ubI<v  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } s;,AtP  
r XR3t ?r  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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