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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 Z4 2 ?d  
Uj @w2  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. goRe%&N  
W4YOC\wWY  
  1、三角函数本质: #4RA?:`  
uZg7#,  
  三角函数的本质来源于定义 N!u1:  
2ONja1  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 2ytruSh$  
DfG3p-OB  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 Hib&n;t  
 V` =3  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: y #f(^p  
&Z - />V\  
  推导: (U/hA^  
J_E_Gcb.  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 w0UzG.xk  
^)tD o1%  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) o]TSc[*-!  
J!FC0  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) eb(y~5RPC  
U5noK^  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 HZOXCxZ1  
yQy'LYjT(  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) #H&mD  
ki2S`+R5  
  [1] t=*jbpqQ  
Ud1])N2(h  
  两角和公式 2<'u,X  
855]l_R  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ><Cz19V ^  
uf-4m/ %4  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  GfI,{ Zr!  
ix/B7Ox  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB jL@IkQCW  
9-+f>N<"  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB zkZm%h1m  
Z+NW/;[{  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) n(]+o^guo  
1 hal7J8;  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) R/lTb0auo.  
YTOG6qu  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  FL(w  
;Z1-FwXD  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) m1OY)_  
<*:nVoX-,  
倍角公式 Q,IZn/sv  
.MFvE%  
  Sin2A=2SinA•CosA 'ZJ)+s;g  
@ FFoS~Kx  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 o6Tw*>Pe  
^stK,XjO1  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) [@u.g:?1  
3`f"p\@c<  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) \eNa7) p  
T#&n`1xF  
三倍角公式 RYAUjQK  
M*!n/\s  
   ?=[#il  
;HC*v3 :?b  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) -"6}{=  
p fJse  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) H|o{x@Wk  
@ul2Y 3  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) AJzj{  
y-PLZO-V  
三倍角公式推导 ]'EA6\IR3=  
NtXt(,0Sr  
  sin3a tPRNJ  
]9/  
  =sin(2a+a) IUf_wU  
j8FQ~*W  
  =sin2acosa+cos2asina |[dAv  
i0#/@C z{!  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina SB1j4';   
=s$5,  
  =3sina-4sin³a bjf0m [D  
2 %l;L|eG  
  cos3a Ca/P<1b  
FD}}Ss  
  =cos(2a+a)  |v9veB  
y^p$/c59i  
  =cos2acosa-sin2asina WAWjO'#^  
m:^j|[:t  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa *` $0}y  
Z : Zj  
  =4cos³a-3cosa OuO+k$O  
O<B1  
  sin3a=3sina-4sin³a }sgZKCH  
)YL0)!#DC  
  =4sina(3/4-sin²a) O?9vK gT(  
[J&2h_I  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] 6s9gf. l`}  
*W?^ k *  
  =4sina(sin²60°-sin²a) XbP\Ln*  
#y h?  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) |%~09rZS'  
>Yf&GRR}5  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] /tx-oH2  
.nBP(V]  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) -)tf u}ME@  
vtZ  
  cos3a=4cos³a-3cosa }[IbbWw'  
Bl1>XM0S_  
  =4cosa(cos²a-3/4) Sm1,[~Y  
/7Vo?"rt  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] u`K|3"  
$8 M\;i?  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) C7A n'J*  
>zZF5ap ;  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) O.mO2+_ ,  
^0MK(hcV  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} b< \v,JLj  
2-lrh0  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ?Hb*EC#  
b8iBtf  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] VW0rsD  
X7CT>pQO)  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] D7v*$n+  
e%8=`O.  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) qP2U7+(U  
.?0OqXX  
  上述两式相比可得 qJ }8 !l  
9OO.f  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) U+ypO4N  
0y/ij;2>N)  
半角公式 6s\ .6}5N  
*],B dj76x  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); s[&U}G>  
XBt$S-  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. `} VWL\)  
 ^`{  
和差化积 `)O!-3H<d  
3wTV=_J'  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `\qYmzq  
P\(=C=x  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ,JY!Z*BN  
w=HaSryL  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lcWhJ8l  
]Q0 uA  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] MXMy6$h 3  
slAC3K`  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) LJm|jb`D't  
xVG)P;6  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 1>M\^2n1  
'4t:05  
积化和差 <xEriB  
]<>*{/i #  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] RhDFsb#\Mk  
~s/ mah{1  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 1^7:;_j=  
|15K4Cecu  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] bl' }5.$?  
FpWdYhXs  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] CfuBf!>o|*  
PE+?[CUK  
诱导公式  |\6og`m  
rH`U)+  
  sin(-α) = -sinα QmAv9M6I  
^lM@sNe  
  cos(-α) = cosα y#3*r  
u#$7-e  
  sin(π/2-α) = cosα FZvW}g:  
VL,Inv2Ws  
  cos(π/2-α) = sinα Jg9ZKn  
O.[s{GDe  
  sin(π/2+α) = cosα 9psA, u#  
<5~t3eAM?  
  cos(π/2+α) = -sinα s$=S=Y[  
'g]ol.Z   
  sin(π-α) = sinα qX&=@D  
I+W]{Hu1  
  cos(π-α) = -cosα $)@ox^BT  
nS9>/6#a  
  sin(π+α) = -sinα %:a}/B  
N-a87r%6  
  cos(π+α) = -cosα V4Hk(U@%iL  
z C+uGEX  
  tanA= sinA/cosA +Epx} U`  
*Y1)s{0  
  tan(π/2+α)=-cotα cKtj8@~n  
w  $`Qvj  
  tan(π/2-α)=cotα ^.i3RW]  
b!%!"%  
  tan(π-α)=-tanα {jQPi3C;  
r^]&/%i  
  tan(π+α)=tanα /2nhT!  
c8AQa<]  
万能公式 m>bz`Y U  
ZS= y+:-  
   eAt<vi0p  
)77fu  
其它公式 @/W B:  
,l2s^ L  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 A':}!Q EY"  
c`tajs+ ,  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 s u7)  
.]'HiB!Y  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 bJX ozzy  
|vHBlbP,  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 GrcM ]f  
w|X@x0IR~  
  对于任意非直角三角形,总有 ;S}Z=  
w=B5K:6bR  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;'guQkqNq  
]VUGqEar  
  证: 3<Fv9^R  
} %8`>F`  
  A+B=π-C g,pL/$o'  
Ozx` 5*6n  
  tan(A+B)=tan(π-C) Z6V1Z+  
M.yv 0)DGx  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) -A "DWx`  
&H"&Qq  
  整理可得 PBkt&Bu  
Ap&6$qt  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2L K 1r$  
zMh=uUxb  
  得证 j+4-zg  
T&TK+  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ,Z\ShK1T  
Ba{Qvas%  
其他非重点三角函数 E,9nG1mw,  
>7c 6_Y7Y  
  csc(a) = 1/sin(a) @>S@U$  
bTyTAB6Xx  
  sec(a) = 1/cos(a)  7AU s|E  
(i!Y4CGa3]  
   :cX%Q m  
GY/- `z  
双曲函数 uP r!7KnH  
c3?=TyK  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 @Ccv)A  
U'C%U&MiLG  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 QyqA#@ln1  
!.0FlRc>  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) wXSHPR   
:z|]+whJU  
  公式一: nuzN or  
!0/QWzqn  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: (]8OzC  
2)eOX+I  
  sin(2kπ+α)= sinα i18zK0e  
p<8<CK  
  cos(2kπ+α)= cosα qC%<5 2#n  
R;B)*m  
  tan(kπ+α)= tanα #^:RjM  
jgYGe  
  cot(kπ+α)= cotα BTQTfz  
H$;7`pu  
  公式二: 73c3<n$'  
12ka#F-W  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: yAe/<xg  
;YI\-a2\>  
  sin(π+α)= -sinα cX)$H 7w  
:m95 ]%AT  
  cos(π+α)= -cosα 1~j_`u>  
1aE</P?r  
  tan(π+α)= tanα E` I}F{  
l*.N[[)  
  cot(π+α)= cotα k=i&kz+  
o7^`pT L  
  公式三: nw:XI%&cb/  
? Un`)s {  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: Q H#AO5+8  
*cm@2 %X  
  sin(-α)= -sinα Ds Q/ &7  
l>aO?G  
  cos(-α)= cosα j%4tI83>  
,?'!wE, %  
  tan(-α)= -tanα dS[hWo+  
Bs7[IkwDi  
  cot(-α)= -cotα 79-ux~J!1  
K.:O+c`  
  公式四: z h*0i  
PAxev@=  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: EXkZ<lx  
)_dI=CkH  
  sin(π-α)= sinα !*b78+  
V%e, g  
  cos(π-α)= -cosα pV`c*#n]5n  
 ~rb;TTE  
  tan(π-α)= -tanα ^32&TsS  
qM*l!B  
  cot(π-α)= -cotα . lE2p0:  
~<IhpZ$G  
  公式五: :`~!g  
 GQ vml  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ?u|XuC/byA  
h^I$Ym*>  
  sin(2π-α)= -sinα Hmf +yQ-5  
3$ &Q'7  
  cos(2π-α)= cosα QM llYGi@  
/*$x9?srr  
  tan(2π-α)= -tanα /GK2B  
<pjZOZzO  
  cot(2π-α)= -cotα @h{$K im9  
}3:{.k +  
  公式六:  I4s*  
aU&2|m sH  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: fvI'Mws  
45Qv<ah!M  
  sin(π/2+α)= cosα ${r>lT)wY  
%P^^Uh  
  cos(π/2+α)= -sinα hwZz/;*J  
yc(E6vYy  
  tan(π/2+α)= -cotα K!h\FYr  
+x 3as{^  
  cot(π/2+α)= -tanα b U d^  
IIT0Jt  
  sin(π/2-α)= cosα i*ny<*Y  
KF6nbi~Y  
  cos(π/2-α)= sinα BN<ii@J_8  
Y EhtpE?5  
  tan(π/2-α)= cotα O%v)P*h[e  
\O,r@MW7M  
  cot(π/2-α)= tanα {%Rpps(u?  
B[.qUiZ  
  sin(3π/2+α)= -cosα lds!uUe_  
u^fH3BP  
  cos(3π/2+α)= sinα (d&xz"l(;  
`Mu\iWj  
  tan(3π/2+α)= -cotα 0j8iL}_E  
m8XXeh##]!  
  cot(3π/2+α)= -tanα q6DvM  
?t1\?-.X  
  sin(3π/2-α)= -cosα |Nozp4$cjh  
uu>>62zV  
  cos(3π/2-α)= -sinα n @9u~5O  
WiN@r=-  
  tan(3π/2-α)= cotα N2<#m1[y'8  
ZuW=q Y  
  cot(3π/2-α)= tanα pVGarq  
rD7C(kiPt  
  (以上k∈Z) _@ |1  
#duIi5~H  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 5b5^i5s  
{|j?#Rl('  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = &)+{CN3?b-  
9 G+Us(8(G  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 9DFP8.  
D]|I$a#vI]  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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